Question

7．如图，在△ABC中，若∠DAC=∠B．
（1）求证：AC²=CD•CB；
（2）在AD上取点E，当CD与CE满足何关系时，△ACE∽△BAD？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件证得△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠CDE=∠CED，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠ACE，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵∠DAC=∠B，∠ACD=∠ACB，
∴△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{AC}$，
∴AC²=CD•CB；

（2）当CD=CE时，△ACE∽△BAD，
理由：∵CD=CE，
∴∠CDE=∠CED，
∵∠CDE=∠B+∠BAD，∠CED=∠DAC+∠ACE，∠DAC=∠B，
∴∠BAD=∠ACE，
∴△ACE∽△BAD．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解题的关键．