Question

【题目】已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点.

（1）求点，点的坐标；

（2）我们规定：对于直线，直线，若，则直线；反过来也成立.请根据这个规定解决下列问题：

①直线与直线是否垂直？并说明理由；

②若点是抛物线的对称轴上一动点，是否存在点与点，点构成以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）点坐标为，点坐标为；（2） ①不垂直，理由详见解析；②存在，点的坐标为或.

【解析】

（1）令，求出x的值，根据点在点的左侧求出A的坐标，令，求出y的值即可求出C的坐标；

（2）①分别求出两条直线的斜率，然后根据两斜率的积不等于-1即可证明两直线不垂直；②根据点，点的坐标求出直线AC的函数表达式，然后对时与时两种情况分别讨论计算即可.

解：

（1）当时，，解得，

∵点在点的左侧，

∴点坐标为

当时，

∴点坐标为.

（2）①不垂直；由，得，由，得

∵

∴直线与直线不垂直；

②存在.

∵

∴抛物线的对称轴为直线.

设直线，根据题意得,解得

∴直线的函数表达式为

分两种情况：Ⅰ）当时，如图，根据新定义可设

∵点坐标为

∴

∴

直线的函数表达式为，当时，

此时点坐标为；

Ⅱ）当时，如图，根据新定义可设

∵点坐标为

∴，

∴直线的函数表达式为，当时，，

此时点坐标为；

综上，点的坐标为或.