Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为_____．

Answer 1

【答案】4或4.

【解析】

①当AF＜AD时，由折叠的性质得到A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过E作EH⊥MN于H，由矩形的性质得到MH=AE=2，根据勾股定理得到A′H=，根据勾股定理列方程即可得到结论；②当AF＞AD时，由折叠的性质得到A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，根据矩形的性质得到DH=AG，HG=AD=6，根据勾股定理即可得到结论．

①当AF＜AD时，如图1，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，

则A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，

设MN是BC的垂直平分线，

则AM=AD=3，

过E作EH⊥MN于H，

则四边形AEHM是矩形，

∴MH=AE=2，

∵A′H=，

∴A′M=，

∵MF2+A′M2=A′F2，

∴（3-AF）2+（）2=AF2，

∴AF=2，

∴EF==4；

②当AF＞AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，

则A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，

设MN是BC的垂直平分线，

过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，

则四边形AGHD是矩形，

∴DH=AG，HG=AD=6，

∴A′H=A′G=HG=3，

∴EG==，

∴DH=AG=AE+EG=3，

∴A′F==6，

∴EF==4，

综上所述，折痕EF的长为4或4，

故答案为：4或4．