Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的长．

 

Answer 1

解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切．

证明：连结OD，DE.

∵∠C=90°，

∴∠CBD +∠CDB=90°．

∵∠A=∠CBD，

∴∠A+∠CDB=90°．

∵OD = OA，

∴∠A=∠ADO．

∴∠ADO + ∠CDB=90°．

∴∠ODB = 180° - 90°=90°．

∴OD⊥BD．

∵OD为半径，

∴BD是⊙O切线．

（2）∵AD : AO=8 : 5，

∴=．

∴由勾股定理得AD : DE : AE = 8 : 6 : 10．

∵∠C=90°，∠CBD=∠A.

∴△BCD∽△ADE．

∴DC : BC : BD= DE : AD : AE=6 : 8 : 10．

∵BC=3，

∴BD=．