Question

【题目】如图，在直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，对称轴为的抛物线过两点，且交轴于另一点，连接．

（1）直接写出点，点，点的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点为第一象限内抛物线上一点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点（点除外），使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点；（3）点的坐标为：或或．

【解析】

（1）y=x+3，令x=0，则y=3，令y=0，则x=6，故点B、C的坐标分别为：（6，0）、（0，3），即可求解；

（2）PH=PGcosα=,即可求解；

（3）分点Q在x轴上方、点Q在x轴下方两种情况，分别求解．

（1），令，则，令，则，

故点的坐标分别为、，

抛物线的对称轴为，则点，

则抛物线的表达式为：，

即，解得：，

故抛物线的表达式为：

（2）过点作轴的平行线交于点，作于点，

将点坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：，

则，，则，

设点，则点，

则

∵，故有最小值，此时，

则点；

（3）①当点在轴上方时，

则点为顶点的三角形与全等，此时点与点关于函数对称轴对称，

则点；

②当点在轴下方时，

为顶点的三角形与相似，则，

当时，

直线BC表达式的值为，则直线表达式的值为，

设直线表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：

直线的表达式为：…②，

联立①②并解得：或﹣8（舍去6），

故点坐标为（舍去）；

当时，

同理可得：直线的表达式为：…③，

联立①③并解得：或﹣10（舍去6），

故点坐标为，

由点的对称性，另外一个点的坐标为；

综上，点的坐标为：或 或．