Question

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）求出A、B的坐标和△ABC的面积；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，
①点P在线段BC上移动的过程中，四边形PEDF是否能成为平行四边形？若能，求此时点F的坐标；若不能，请说明理由；
②是否存在一点P，使△BCF的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△BCF的面积最大值．若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式即可求得A、B、C、D的坐标，以AB为底，OC为高可求出△ABC的面积；
（2）根据抛物线的解析式，易求得抛物线的对称轴方程；在△QCA中，AC的长为定值，若△QAC的周长最小，则QC+QA的长度最小；已知A、B关于抛物线的对称轴对称，若连接BC，那么Q点必为BC与抛物线对称轴的交点，可根据B、C的坐标求出直线BC的解析式，联立抛物线的对称轴方程即可得到Q点的坐标；
（3）根据直线BC的解析式及抛物线的顶点坐标，即可求得DE的长；可设出F点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式分别表示出P、F的纵坐标，进而可求得PF的长；
①若四边形PEDF是平行四边形，那么PF与DE平行且相等，已知了PF与DE都平行于y轴，令它们的表达式相等，即可求出此时F点的坐标；
②以PF为底，B点横坐标的绝对值为高，可求出△FCB的面积表达式，由此可得到关于△FCB和P点横坐标的函数关系式，根据所对函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最大值，及对应的P点坐标．

解答：解：（1）抛物线y=-x²+2x+3中，令y=0，
则有-x²+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，得y=3，
∴C（0，3）；
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；
∴D（1，4），抛物线的对称轴为x=1；
由于A、B关于x=1对称，连接BC，
则点Q即为直线BC与抛物线对称轴的交点；
设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：

3k+b=0 b=3

，
解得；

k=-1 b=3

∴直线BC的解析式为y=-x+3；
当x=1时，y=-1+3=2；
∴Q（1，2）；

（3）设F点坐标为（m，-m²+2m+3），则P（m，-m+3）；
易知：D（1，4），E（1，2）；
∴DE=2，PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m；
①由于PF∥DE，若四边形PFDE是平行四边形，则PF=DE，
即：-m²+3m=2，
解得m=1（舍去），m=2；
∴P（2，1）；
故四边形PFDE能够成为平行四边形，此时P（2，1）；
②设△BFC的面积为S，则有：
S=

1

2

PF•x_B=

1

2

×（-m²+3m）×3=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

；
∴当m=

3

2

时，Smax=

27

8

，此时P（

3

2

，

3

2

）；
故△BFC的面积存在最大值

27

8

，此时P点的坐标为P（

3

2

，

3

2

）．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、因此函数解析式的确定、轴对称的性质、图形面积的求法、平行四边形的判定等重要知识点，综合性较强，难度偏大．