Question

【题目】已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）

（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；

（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；

（3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）a≥；（2）m＜﹣1或m＞5；（3）y的最小值为：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．

【解析】

（1）令对应一元二次方程根的判别式大于等于0，然后解答即可；

（2）根据抛物线的对称轴为直线x=，当n=b时，根据函数的对称性，可得m=-1，最后确定m的取值范围即可；

（3）分m<0，0≤m≤2，m>2三种情况别求解即可．

解：（1）由题意得：

△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，

解得：a≥；

（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，

当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1或m=5，

故实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5；

（3）①当m+2＜2时，即m＜0时，

函数在x＝m+2时，取得最小值，

ymin＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1；

②当m≤2≤m+2时，即0≤m≤2，

函数在顶点处取得最小值，

即ymin＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；

③当m＞2时，

函数在x＝m时，取得最小值，

ymin＝am2﹣4am+a+1；

综上，y的最小值为：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．