Question

3．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E是AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AB=6，AD=4，求$\frac{AF}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定与性质，可得，根据比例的性质，可得答案；
（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠EAC=∠ECA，根据角平分线的定义，可得∠CAD=∠CAB，根据平行线的判定，可得答案；
（3）由（2）知CE∥AD，进而得到△AFD∽△CFE，AD：CE=AF：CF；求得CE=3，AD=4，即可解决问题．

解答 证明：（1）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB；

（2）∵E是AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA．
∵AC平分∠DAB，
∴∠CAD=∠CAB，
∴∠CAD=∠ECA，
∴CE∥AD；

（3）解：由（2）知CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CE}$AD：CE=AF：CF；
∵CE=$\frac{1}{2}$AB=3，AD=4，
$\frac{AF}{CF}=\frac{AD}{CE}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）利用了相似三角形的判定与性质，比例的性质；（2）利用了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，牢固掌握直角三角形的性质、相似三角形的判定及其性质是解题的关键．