[题目]如图.在平面直角坐标系中.直线与x轴交于点A.与y轴交点C.抛物线过A.C两点.与x轴交于另一点B．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E.连接BE.与直线AC相交于点F.当时.求的值．(3)点N是抛物线对称轴上一点.在(2)的条件下.若点E位于对称轴左侧.在抛物线上是否存在一点M.使以M.N.E.B为顶点的四边形是平行四边形?若存在.直接写出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当时，求的值．

（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）的值为或；（3）存在，M的坐标为或或．

【解析】

（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解；

（2）如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则易得△BFG∽△BEH，设点E的横坐标为t，则，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，再根据EH与FG的关系列出关于t的方程，解方程即可求出t的值，然后在Rt△EBH中即可求出的值；

（3）①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：点M在对称轴右侧时，BN为对角线与点M在对称轴左侧时，BM为对角线，利用平移的性质即可求出结果；②当EB为平行四边形的对角线时，利用平行四边形对角线的性质和中点坐标公式求解即可.

解：（1）在中，当时，当时，

∴、，

∵抛物线的图象经过A、C两点，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）令，解得，，∴，

设点E的横坐标为t，则，

如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，∴△BFG∽△BEH，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴点F的横坐标为，

∴，

解得，，

当时，，

∴，，

当点E的坐标为时，在中，，，

∴，

∴；

同理，当点E的坐标为时，，

∴的值为或；

（3）∵点N在对称轴上，∴，

∵点E位于对称轴左侧，∴.

①当EB为平行四边形的边时，分两种情况：

（Ⅰ）点M在对称轴右侧时，BN为对角线，

∵，，，，

∴，当时，，

∴；

（Ⅱ）点M在对称轴左侧时，BM为对角线，

∵，，，，

∴，

当时，，

∴；

②当EB为平行四边形的对角线时，

∵，，，

∴，

当时，，

∴；

综上所述，M的坐标为或或．

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