Question

【题目】如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上.

（1）如图1，当折痕的另一端在边上且时，求的长

（2）如图2，当折痕的另一端在边上且时，

①求证：.②求的长.

（3）如图3，当折痕的另一端在边上，点的对应点在长方形内部，到的距离为2，且时，求的长.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①证明见解析；②6；（3）.

【解析】

（1）根据翻折的性质可得BF=EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；

（2）①根据翻折的性质可得∠BGF=∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF=∠EFG，从而得到∠EGF=∠EFG，再根据等角对等边证明即可；

②根据翻折的性质可得EG=BG，HE=AB，FH=AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解；

（3）设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

（1）纸片折叠后顶点落在边上的点处，

∴，

∵，

∴，

在中，，

即，

解得；

（2）①∵纸片折叠后顶点落在边上的点处，

∴，

∵长方形纸片的边，

∴，

∴，

∴；

②∵纸片折叠后顶点落在边上的点处，

∴，，，

∴，

在中，，

∴；

（3）法一：如图3，设与相交于点，过点作分别交、于、，

∵到的距离为2cm，

∴，.

在中，，

∵，

，

∴.

又∵，

∴∽，

∴，

即，

解得，，

∴，

∵，，

∴∽，

∴，

即，

解得，

∴.

法二：如图4，设与相交于点，过点作分别交、于、，过点作交于点，连接，

∵到的距离为2，

∴，，

在中，，

设，

在中，根据勾股定理可得：，

在中，根据勾股定理可得：，

在中，根据勾股定理可得：，

即，解得：，故，

∴，

设，

在中，根据勾股定理可得：，

∵

即：，

解得：，

∴