Question

5．如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足$\frac{BD}{BA}$=$\frac{BA}{BC}$，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若sin∠ABM=$\frac{3}{5}$，AM=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）要证AD是⊙O的切线，连接OA，只证∠DAO=90°即可．
（2）连接CM，根据垂径定理求得$\widehat{MC}$=$\widehat{MA}$，进而求得∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，从而得出sin∠CBM=$\frac{3}{5}$，在RT△BMC中，利用正弦函数即可求得直径AB，进而求得半径．

解答 （1）证明：连接OA；
∵BA平分∠CBF，
∴∠ABD=∠CBA，
∵$\frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}$，
∴△ADB∽△CBA，
∴∠ADB=∠CAB，
又∵BC为⊙O的直径，
∴∠CAB=90°，∠ADB=90°，
又∵点A在圆O上，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBA=∠DBA，
∴FB∥OA，
∴∠ADB+∠OAD=180°，
∠OAD=90°，
∴OA⊥DA，∵OA为半径，
∴DA为⊙O的切线．
（2）解：连接CM，
∵OM⊥AC于点E，OM是半径，
∴$\widehat{MC}$=$\widehat{MA}$，
∴∠ABM=∠CBM，AM=CM=6，
∴sin∠ABM=sin∠CBM=$\frac{3}{5}$，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BMC=90°，
在RT△BMC中，sin∠CBM=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{MC}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∴BC=10，
∴⊙O的半径为5．

点评 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了三角函数的知识．