Question

1．已知，如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．
（1）当点D在射线AM上，E在射线BN的延长线上（如图①）时，求证：AD+BE=AB；
（2）如图②、图③，线段AD、BE、AB之间又有怎样的数量关系？写出猜想，不需要证明；
（3）若S_△ABC=2S_△ADC=2$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，则BE=2，

Answer 1

分析 （1）如图①在AB上截取AG=AD，连接CG，利用三角形全等的判定定理可判断出BG=BE，即AD+BE=AB；
（2）如图②，可以在AD上截取线段等于AB，如图③，可在BE上截取线段等于AB，仿照（1）的证明方法来证明；
（3）本问题如图①，高AB边上的高为h_AB，利用面积公式可求得．

解答 解：（1）在AB上截取AG=AD，连接CG．
∵AC平分∠MAB，
∴∠DAC=∠CAB（角平分线定义），
在△ADC和△AGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC（公共边）}\\{∠DAC=∠CAB（已证）}\\{AD=AG（辅助线的作法）}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AGC（SAS），
∴∠DCA=∠ACG（全等三角形的对应边相等），
∵AM∥BN（已知），
∴∠DAB+∠ABE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
即：∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°，
∵∠DAC=∠CAB，∠GBC=∠CBE（角平线定义），
∴∠CAB+∠GBC=90°，
∴∠ACB=90°（三角形内角和定理）
即∠ACG+∠GCB=90°，
∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠GCB=∠ECB（等角的余角相等），
在△BGE和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCB=∠ECB（已证）}\\{∠ABC=∠CBE（已证）}\\{BC=BC（公共边）}\end{array}\right.$，
∴△BGC≌△BEC（AAS）．
∴BG=BE（全等三角形的对应边相等）
∴AD+BE=AG+BG，AD+BE=AB．
（2）当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时（如图②），AD-BE=AB．
当点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时（如图③），BE-AD=AB．
（3）如图①，设△ABC边上的高为h_AB，则
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AB•{h}_{AB}$，${S}_{△ADC}={S}_{△AGC}=\frac{1}{2}AG•{h}_{AB}$，
∵S_△ABC=2S_△AD
∴$\frac{1}{2}AB•{h}_{AB}=2×\frac{1}{2}AG•{h}_{AB}$，
∴AB=2AG，BG=AG，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，
AB=2CB，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$BC，
又∵${S}_{△ABC}=2\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}AC•BC=2\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}×\sqrt{3}BC•BC=2\sqrt{3}$，
∴BC=2，AB=4，
∴AG=BG=2，
∴BE=BG=2．

点评 本试题是证明线段的和差问题，常常利用“截长补短”的方法，即：在较长线段上截取一段线等于已知线段，把各线段放在一条线段上，利用线段和差求解．此类题常要借助全等三角形来解决．