Question

四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q．由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F．求证：P，E，F三点共线．

Answer 1

分析：连接PQ，并在PQ上取一点M，使得B，C，M，P四点共圆，连CM，PF．设PF与圆的另一交点为E′，并作QG丄PF，垂足为G．根据勾股定理、切割线定理、切线定理证明GE=GE′，从而证明结论．

解答：证明：如图，连接PQ，并在PQ上取一点M，使得B，C，M，P四点共圆，连CM，PF．设PF与圆的另一交点为E′，并作QG丄PF，垂足为G．
易知QE²=QM•QP=QC•QB①，
∠PMC=∠ABC=∠PDQ．
从而C，D，Q，M四点共圆，于是
PM•PQ=PC•PD②，
由①，②得
PM•PQ+QM•PQ=PC•PD+QC•QB，
即PQ²=QC•QB+PC•PD．
易知PD•PC=PE′•PF，
又QF²=QC•QB，有
PE′•PF+QF²=PD•PC+QC•AB=PQ²，
即PE′•PF=PQ²-QF²．又
PQ²-QF²=PG²-GF²=（PG+GF）•（PG-GF）
=PF•（PG-GF），
从而PE′=PG-GF=PG-GE′，
即GF=GE′，故E′与E重合．
所以P，E，F三点共线．

点评：此题考查了切线定理、切割线定理，能够用同一法证明三点共线的问题．