抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A.B.顶点为C.若将此抛物线沿x轴向上翻折.使点C落在点D处.得到如图所示图形记作图形F．(1)若AB=6.对称轴为直线x=4．求:①△ABD的面积,②若直线${l} {1}:y=\frac{1}{2}x-6$以每秒一个单位的速度沿y轴向上运动.运动时间为t s.当l1与图形F有四个公共点时.求t的范围．(2)若以平行于x轴的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．

抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A、B，顶点为C，若将此抛物线沿x轴向上翻折，使点C落在点D处，得到如图所示图形记作图形F．
（1）若AB=6，对称轴为直线x=4．求：
①△ABD的面积；
②若直线${l}_{1}：y=\frac{1}{2}x-6$以每秒一个单位的速度沿y轴向上运动，运动时间为t s，当l₁与图形F有四个公共点时，求t的范围．
（2）若以平行于x轴的直线l₂：y=2与图形F有三个公共点且公共点的横坐标为一直角三角形的三边长，求b、c的值．

分析（1）①首先求出A、B两点坐标，利用待定系数法切线抛物线的解析式，再求出顶点C的坐标即可解决问题；
②由①可知，翻折后的抛物线的解析式为y=-x²+8x-7，设直线${l}_{1}：y=\frac{1}{2}x-6$平移后的解析式y=$\frac{1}{2}$x+b，当直线y=$\frac{1}{2}$x+b经过A（1，0）时，求出b的值，当直线y=$\frac{1}{2}$x+b与y=-x²+8x-7只有一个交点时，求出b的值即可解决问题；
（2）如图2中，设直线y=2与图形F有三个公共点，三个公共点分别为E、D、F．设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{y={x}^{2}+bx+c}\end{array}\right.$消去y得到x²+bx+c-2=0，可得x₁+x₂=-b，x₁x₂=c-2，由题意抛物线y=x²+bx+c，的顶点的纵坐标为-2，可得$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$=-2，即b²=4c+8，由直线l₂：y=2与图形F有三个公共点且公共点的横坐标为一直角三角形的三边长，可得x₂²=x₁²+（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²，利用根与系数关系，转化为关于b、c的方程即可解决问题；

解答解：（1）①∵AB=6，对称轴x=4，
∴A（1，0），B（7，0），
∴抛物线的解析式为y=（x-1）（x-7）=x²-8x+7=（x-4）²-9，
∴C（4，-9），
∵D与C关于x轴对称，
∴D（4，9），
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×6×9=27．

②如图1中，

由①可知，翻折后的抛物线的解析式为y=-x²+8x-7，
设直线${l}_{1}：y=\frac{1}{2}x-6$平移后的解析式y=$\frac{1}{2}$x+b，
当直线y=$\frac{1}{2}$x+b经过A（1，0）时，0=$\frac{1}{2}$+b，
b=-$\frac{1}{2}$，
当直线y=$\frac{1}{2}$x+b与y=-x²+8x-7只有一个交点时，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-{x}^{2}+8x-7}\end{array}\right.$消去y得到x²-$\frac{15}{2}$x+b+7=0，
由△=0可得b=$\frac{113}{16}$，
∵-$\frac{1}{2}$-（-6）=$\frac{11}{2}$，$\frac{113}{16}$-（-6）=$\frac{209}{16}$，
观察图象可知，当$\frac{11}{2}$＜t＜$\frac{209}{16}$时，当l₁与图形F有四个公共点．

（2）如图2中，设直线y=2与图形F有三个公共点，三个公共点分别为E、D、F．

设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{y={x}^{2}+bx+c}\end{array}\right.$消去y得到x²+bx+c-2=0，
∴x₁+x₂=-b，x₁x₂=c-2，
由题意抛物线y=x²+bx+c，的顶点的纵坐标为-2，
∴$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$=-2，
∴b²=4c+8，
∵直线l₂：y=2与图形F有三个公共点且公共点的横坐标为一直角三角形的三边长，
∴x₂²=x₁²+（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）²，
∴（x₂+x₁）（x₂-x₁）=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{4}$，
∴16（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²，
∴16[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（x₁+x₂）²，
∴16[b²-4（c-2）]=b²，
∴16[4c+8-4c+8]=4c+8，
∴c=62，b=-16或16（舍弃因为b＜0），
∴b=-16，c=62．

点评本题考查二次函数综合题、翻折变换、平移变换、一次函数的应用、一元二次方程的根与系数的关系，二元二次方程组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．

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A．

（8053，0）

B．

（8064，0）

C．

（8053，$\frac{12}{5}$）

D．

D、（8064，$\frac{12}{5}$）

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1条

B．

2条

C．

3条

D．

4条

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