Question

已知点D是等边△ABC的边BC上一点，以AD为边向右作等边△ADF，DF、AC交于点N．
（1）如图①，当AD⊥BC时，请说明DF⊥AC的理由；
（2）如图②，当点D在BC上移动时，以AD为边再向左作等边△ADE，DE、AB交于M，试问线段AM和AN有什么数量关系？请说明你的理由；
（3）在（2）的基础上，若等边△ABC的边长为2，直接写出DM+DN的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠CAD=×60°=30°，
又∵△ADF是等边三角形，
∴∠DAF=30°，
∴∠DAN=∠FAN=30°，
∴AN⊥DF，
即DF⊥AC；

（2）AM=AN．
理由如下：如图，连接AD，
∵△ADE、△ADF是等边三角形，
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AF，
∵∠DAM+∠CAD=60°，
∠FAN+∠CAD=60°，
∴∠DAM=∠FAN，
在△ADM和△AFN中，，
∴△ADM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN；

（3）根据垂线段最短，DM⊥AB、DN⊥AC时，DM、DN最短，
设等边△ABC的高线为h，
则S_△ABC=AC•h=AB•DM+AC•DN，
∵AB=AC，
∴DM+DN=h，
∵等边△ABC的边长为2，
∴h=2×=，
∴DM+DN的最小值为．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CAD=30°，再求出∠FAN=30°，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明；
（2）连接AD，根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠ADE=∠ADF，等边三角形的三条边都相等可得AD=AF，再求出∠DAM=∠FAN，然后利用“角边角”证明△ADM和△AFN全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AM=AN；
（3）根据垂线段最短可得DM⊥AB、DN⊥AC时，DM、DN最短，再利用△ABC的面积求出此时DM+DN等于等边△ABC的高，然后求解即可．
点评：本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，（3）判断出DM、DN最短时的情况是解题的关键．