Question

【题目】如图1，地面BD上两根等长立柱AB，CD之间有一根绳子可看成抛物线y＝0.1x2﹣0.8x+5．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离AB为5米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面2米，求MN的长；

（3）将立柱MN的长度提升为5米，通过调整MN的位置，使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为．设MN离AB的距离为m，抛物线F2的顶点离地面距离为k，但2≤k≤3时，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）米；（2）米；（3）2≤m≤8﹣2．

【解析】

（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；

（2）利用顶点式求出抛物线F1的解析式，进而得出x=5时，y的值，进而得出MN的长；

（3）根据题意得出抛物线F2的解析式，得出k的值，进而得出m的取值范围．

解：（1）∵a＝0.1＞0，

∴抛物线顶点为最低点，

∵y＝0.1x2﹣0.8x+5＝0.1（x﹣4）2+，

∴绳子最低点离地面的距离为：米；

（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BD＝8，

令x＝0得y＝5，

∴A（0，5），C（8，5），

由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（4，2），

设F1的解析式为：y＝a（x﹣4）2+2，

将（0，5）代入得：16a+2＝5，

解得：a＝，

∴抛物线F1为：y＝（x﹣4）2+2，

当x＝5时，y＝+2＝，

∴MN的长度为：米；

（3）∵MN＝DC＝5，

∴根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上，

∴F2的横坐标为：（8﹣m）+m＝m+4，

∴抛物线F2的顶点坐标为：（m+4，k），

∴抛物线F2的解析式为：y＝（x﹣m﹣4）2+k，

把C（8，5）代入得：（8﹣m﹣4）2+k＝5，

解得：k＝﹣（4﹣m）2+5，

∴k＝﹣（m﹣8）2+5，

∴k是关于m的二次函数，

又∵由已知m＜8，在对称轴的左侧，

∴k随m的增大而增大，

∴当k＝2时，﹣（m﹣8）2+5＝2，

解得：m1＝2，m2＝14（不符合题意，舍去），

当k＝3时，﹣（m﹣8）2+5＝3，

解得：m1＝8﹣2，m2＝8+2（不符合题意，舍去），

∴m的取值范围是：2≤m≤8﹣2．