Question

【题目】如图，射线交一圆于点，，射线交该圆于点，，且 .

（1）判断与的数量关系.（不必证明）

（2）利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法），求证：平分.

Answer 1

【答案】（1）AC=AE；（2）图见解析，证明见解析

【解析】

（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC=DE，得CP=EQ后得证；
（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN得证．

证明：(1)作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO.

∵，

∴BC=DE，

∴BP=DQ，

又∵OB=OD，

∴△OBP≌△ODQ，

∴OP=OQ.

∴BP=DQ=CP=EQ.

直角三角形APO和AQO中，

AO=AO，OP=OQ，

∴△APO≌△AQO.

∴AP=AQ.

∵CP=EQ，

∴AC=AE.

（2）作图如图所示

证明：∵AC=AE，∴，

∴， 由于AF是CE的垂直平分线，且CF平分，

∴CF=EF.

∴

因此EF平分