Question

【题目】如图：在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，经过点的抛物线的对称轴是．

（1）求抛物线的解析式．

（2）平移直线经过原点，得到直线，点是直线上任意一点，轴于点，轴于点，若点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，且．求证：．

（3）若（2）中的点坐标为，点是轴上的点，点是轴上的点，当时，抛物线上是否存在点，使四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，点的坐标为或.

【解析】

（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是，列出关于a、c的方程组求解即可；
（2）设P（3n，n），则PC=3n，PB=n，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设，然后用含t的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q的坐标（用含t的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得t的值即可．

解：（1）当时，，

解得，即，

抛物线过点，对称轴是，

得，

解得，抛物线的解析式为；

（2）∵平移直线经过原点，得到直线，

∴直线的解析式为.

∵点是直线上任意一点，

∴，则，.

又∵，

∴.

∵轴，轴

∴

∴

∵，

∴，

∴.

（3）设，点在点的左侧时，如图所示，则.

∵，

∴.

∴.

∵四边形为矩形，

∴，，

∴，，

∴，.

将点的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：或（舍去）.

∴.

当点在点的右侧时，如下图所示，则.

∵，

∴.

∴.

∵四边形为矩形，

∴，，

∴，，

∴，.

将点的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：或（舍去）.

∴.

综上所述，点的坐标为或.