Question

【题目】将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．

（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是 ；

（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．

Answer 1

【答案】（1）且；（2）；证明见解析；（3）且．

【解析】

（1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC交BD于点C’进行角的等量代换进行分析即可；

（2）根据题意在上截取,连接，并全等三角形的判定证明和，进而利用勾股定理得出进行分析求解即可；

（3）过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，证明BFMCFO，AODOBM，进而即可得到结论．

解：∵，

∴，

延长AC交BD于点C’，如下图：

∵，

∴，

即，综上且，

故答案为：且；

证明:在上截取,连接

在和中

在和中

即

；

且，理由如下：

过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，

∵BM∥OC，

∴∠M=∠FOC，

∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,

∴BFMCFO（AAS），

∴OF=MF，BM=CO，

∵DO=CO，

∴DO=BM，

∵BM∥OC，

∴∠OBM+∠BOC=180°，

∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，

∴∠OBM=∠AOD，

又∵AO=BO，

∴AODOBM（SAS），

∴AD=OM=2OF ，∠BOM=∠OAD，

∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，

∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．

∴且．