Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点(点在点的左侧)．

（1）求点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段及抛物线在两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为．

①当时，结合函数图象，直接写出区域内的整点个数；

②如果区域内有2个整点，请求出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A（a，0）；（2）①4；②

【解析】

（1）根据抛物线顶点坐标求法求解即可；

（2）①画出图像，根据图像以及整点的概念求解即可；

②由①推出a＜0，分别求出有2个整点和3个整点时a的取值，再得出取值范围.

解：（1）∵抛物线的解析式为：，

∴可得顶点坐标为：A（a，0）；

（2）①∵a=0，

∴抛物线表达式为：，

令，

解得：x1=，x2=，

∵，，

∴区域内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；

②由①可知当a=0时有4个整点，

当a＞0时，对称轴在y轴右侧，此时有更多整点，

∴a＜0，

∵抛物线的解析式为：，

∴抛物线的顶点在x轴，开口向上，

当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相切时，没有整点，

当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，

，

解得：a=-2或0（舍），

第二个整点为（0，2），代入抛物线，

，

解得：a=（舍）或，

第三个整点为（0，1），代入抛物线，

，

解得：a=1（舍）或-1，

综上：a的取值范围是：.