Question

11．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值．

Answer 1

分析 过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；再根据勾股定理求出DC′即可．

解答 解：如图所示：
过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；
连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；
连接BC′，由轴对称的性质得：∠C′BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC′=90°，
∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，
∴BC=BC′=2，
∵D是BC边的中点，
∴BD=1，
根据勾股定理得：DC′=$\sqrt{BC{′}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
∴DE+CE的最小值为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、勾股定理；熟练掌握轴对称的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．