Question

9．如图，Rt△ABC中AB=6，AC=10，△ABC的内切圆交AC于点D，点P从D出发，沿射线DC每次前进一个单位，点Q从D出发沿DA和射线AB每次前进a个单位，a为正整数且1≤a≤8，当t次前进后△APQ与△ABC相似，所有满足条件的t为1、2、8、16、32．

Answer 1

分析 首先在Rt△ABC中，根据AB=6，AC=10，求出BC的值是多少，进而求出OD、AD的值各是多少；然后求出当t次前进后，点P前进的距离是t，点Q前进的距离是at，再分两种情况：（1）当∠APQ=90°时；（2）当∠AQP=90°时；根据a为正整数且1≤a≤8，求出所有满足条件的t的值即可．

解答 解：如图1，连接OD、OE、OF，
，
∵Rt△ABC中AB=6，AC=10，
∴BC=$\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}=8$，
∴（AB+BC+AC）×OD÷2=AB×BC÷2，
∴OD=6×8÷（6+8+10）=48÷24=2，
设AD=x，
则CD=CE=10-x，
BE=BF=8-（10-x）=x-2，
AF=AD=6-（x-2）=8-x，
∴x=8-x，
解得x=4，
∴当t次前进后，点P前进的距离是t，点Q前进的距离是at，
（1）当∠APQ=90°时，
∵△APQ与△ABC相似，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{AP}{AQ}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{t+4}{at-4}$=$\frac{3}{5}$，
整理，可得t=$\frac{32}{3a-5}$，
∵a为正整数且1≤a≤8，
∴a=2时，t=32；a=3时，t=8；a=7时，t=2．
（2）当∠AQP=90°时，
∵△APQ与△ABC相似，
∴$\frac{AQ}{AP}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{at-4}{t+4}$=$\frac{3}{5}$，
整理，可得t=$\frac{32}{5a-3}$，
∵a为正整数且1≤a≤8，
∴a=1时，t=16；a=7时，t=1．
综上，可得所有满足条件的t为1、2、8、16、32．
故答案为：1、2、8、16、32．

点评 （1）此题主要考查了三角形的内切圆和内心，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．