Question

17．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形．
（1）如图1，若∠ACB=∠ABD=60°，则△ABD的形状是等边三角形；
（2）如图（1）的条件下，求证：AC=BC+CD；
（3）如图2，若∠ACB=∠ABD=45°，题（2）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间满足的数量关系，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，则可判定△ABD为等边三角形；
（2）延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，如图1，先证明△ABE≌△ADC得到AE=AC，则判定△AEC是等边三角形得到AC=EC，则AC=EB+BC=CD+BC；
（3）延长CB至点E，使BE=CD，如图1，先判定△ABD为等腰直角三角形得到∠BAD=90°，AB=AD，再证明△ABE≌△ADC得到AE=AC，∠E=∠ACD=45°，则可判断△AEC是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$AC，由于CE=BE+BC=DC+BC，于是得到CD+BC=$\sqrt{2}$AC．

解答 解：（1）∵∠ADB=∠ACB=60°，
而∠ABD=60°
∴△ABD为等边三角形；
故答案为等边；
（2）延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，如图1，
∵△ABD为等边三角形，
∴AB=AD，
在△ABE和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{BA=DA}\\{∠ABE=∠ADC}\\{BE=DC}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，
而∠ACB=60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴AC=EC，
∴AC=EB+BC=CD+BC，
即AC=BC+CD；
（3）（2）中的结论不成立；它们的关系是 CD+BC=$\sqrt{2}$AC．理由如下：
延长CB至点E，使BE=CD，如图1，
∵∠ADC=∠ACB=45°，
而∠ABD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
与（2）证法一样可得△ABE≌△ADC，
∴AE=AC，∠E=∠ACD=45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$AC，
而CE=BE+BC=DC+BC，
∴CD+BC=$\sqrt{2}$AC．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判断与性质和等腰直角三角形的判定与性质；合理构建全等三角形证明线段相等．