Question

9．点C在x的正半轴上，且BC⊥OC于点C，将线段BC绕点B顺时针旋转60°至BC′位置，且点C′的坐标为（2，2$\sqrt{3}$）．
（1）求直线CC′对应的函数关系式；
（2）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过B点，求k的值．

Answer 1

分析 （1）过C′作C′M⊥OC于M，根据C′的坐标为（2，2$\sqrt{3}$）．求得OM=2，C′M=2$\sqrt{3}$，根据旋转的性质得到△BCC′是等边三角形，得到∠BCC′=60°，CC′=BC，根据直角三角形的性质求得CC′=2MC′=4$\sqrt{3}$，CM=6，于是得到C（6，0），B（6，4$\sqrt{3}$），设直线CC′的解析式为y=kx+b，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}=2k+b}\\{0=6k+b}\end{array}\right.$，即可得到结论；
（2）把B（6，4$\sqrt{3}$）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）即可得到结果．

解答 解：（1）过C′作C′M⊥OC于M，
∵C′的坐标为（2，2$\sqrt{3}$）．
∴OM=2，C′M=2$\sqrt{3}$，
∵线段BC绕点B顺时针旋转60°至BC′位置，
∴BC′=BC，∠C′BC=60°，
∴△BCC′是等边三角形，
∴∠BCC′=60°，CC′=BC，
∵BC⊥OC，
∴∠BCO=90°，
∴∠C′CO=30°，
∴CC′=2MC′=4$\sqrt{3}$，
CM=6，
∴OC=8，BC=4$\sqrt{3}$，
∴C（8，0），B（6，4$\sqrt{3}$），
设直线CC′的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}=2k+b}\\{0=8k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{8\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CC′的解析式为y=k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；

（2）反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过B点，B（6，4$\sqrt{3}$），
∴k=24$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．