Question

（2010•赤峰）两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A₁B₁C₁）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C₁=90°，∠ABC=∠A₁B₁C₁=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．
（1）在图②中，连接BC₁、B₁C，求证：△A₁BC₁≌△AB₁C；
（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（点B₁落在AB边的什么位置）时，四边形BCB₁C₁是菱形？说明理由．

Answer 1

【答案】分析：利用全等三角形的性质得出一些条件，然后再进行证明．
解答：（1）证明：∵三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A₁B₁C₁）是两块完全相同的三角板，
∴AC=A₁C₁AB=A₁B₁∠A=∠A₁
∴在图②中A₁B=AB₁
∴△A₁BC₁≌△AB₁C．

（2）解：点B₁落在AB边的中点．理由如下：
如图②所示，由已知条件知BC=B₁C₁，BC∥B₁C₁
∴四边形BCB₁C₁是平行四边形．
要使四边形BCB₁C₁是菱形，
则BC=CB₁
∵∠ABC=∠A₁B₁C₁=60°，
∴△BCB₁为等边三角形．
∴BB₁=B₁C=BC，
又∵∠A=30°，
在直角三角形ABC中，BC=AB，
∴BB₁=AB，
∴点B₁落在AB边的中点．
点评：（1）灵活把握题中隐含的条件是解题的关键．
（2）菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．