练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在直角坐标系中，点C（
    		3
    ，0），点D（0，1），CD的中垂线交CD于点E，交y轴于点B，点P从点C出发沿CO方向以每秒2
    		3
    个单位的速度运动，同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动的时间为秒．
    （1）求出点B的坐标；
    （2）当t为何值时，△POQ与△COD相似？
    （3）当点P在x轴负半轴上时，记四边形PBEQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
    （4）在点P、Q的运动过程中，将△POQ绕点O旋转180°，点P的对应点P′，点Q的对应点Q′，当线段P′Q′与线段BE有公共点时，抛物线y=ax2+1经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x轴正半轴交于点M．由已知，直接写出：①a的取值范围为______；②点M移动的平均速度是______．
    （1）由题意得：OD=1，OC=
    		3
    ，由勾股定理得：DC=2．
    ∵BE是DC的中垂线，
    ∴DE=1，∠DEB=90°．
    在△DEB与△DOC中，
    ∠BED=∠COD=90°
    DE=DO
    ∠EDB=∠ODC
    ，
    ∴△DEB≌△DOC（ASA），
    ∴BD=DC=2，
    ∴BO=1，
    ∴B（0，-1）；

    （2）分两种情况：
    ①当点P在x轴的正半轴上时，
    由已知得，CP=2
    		3
    t    ，OP=CO-CP=
    		3
    -2
    		3
    t    ，OQ=t．
    由题意得：
    OP
    OD
    =
    OQ
    OC
    或
    OP
    OC
    =
    OQ
    OD
    ，
    即：
    		3
    -2
    		3
    t
    1
    =
    t
    		3
    或
    		3
    -2
    		3
    t
    		3
    =
    t
    1
    ，
    解得t=
    3
    7
    或t=
    1
    3
    ；
    ②当点P在x轴的负半轴上时，
    由题意得：
    OP
    OD
    =
    OQ
    OC
    或
    OP
    OC
    =
    OQ
    OD
    ，
    即：
    2
    		3
    t-
    		3
    1
    =
    t
    		3
    或
    2
    		3
    t-
    		3
    		3
    =
    t
    1
    ，
    解得t=
    3
    5
    或t=1    ．
    综上所述：当t=
    3
    7
    或t=
    1
    3
    或t=
    3
    5
    或t=1时    ，△POQ与△COD相似；

    （3）S=S△PQB+S△EQB=
    1
    2
    (1+t)(2
    		3
    t-
    		3
    )+
    1
    2
    (1+t)
    		3
    2
    =
    		3
    t2+
    3
    		3
    4
    t-
    		3
    4
    ，
    即S关于t的函数关系式为：S=
    		3
    t2+
    3
    		3
    4
    t-
    		3
    4
    ，
    ∵点P在x轴负半轴上，
    ∴t＞
    1
    2
    ，
    又∵当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，而点Q运动时间为1秒，
    ∴t≤1，
    ∴自变量t的取值范围为：
    1
    2
    ＜t≤1；

    （4）①当P'Q'与BE有公共点时，初始位置点P′与点A重合，A为BE与x轴的交点．
    由已知得，OA=
    		3
    3
    ，OP′=OP=2
    		3
    t-
    		3
    ，
    ∴2
    		3
    t-
    		3
    =
    		3
    3
    ，
    ∴t=
    2
    3
    ，
    终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时t=1，
    ∴
    2
    3
    ≤t≤1    ．
    设P'Q'的中点为F，当t=
    2
    3
    时，F1(
    		3
    6
    ，-
    1
    3
    )    ．
    把(
    		3
    6
    ，-
    1
    3
    )    代入y=ax2+1，得：a=-16．
    当t=1时，F2(
    		3
    2
    ，-
    1
    2
    )    ，
    把(
    		3
    2
    ，-
    1
    2
    )    代入y=ax2+1，得：a=-2，
    ∴a的取值范围为：-16≤a≤-2；
    ②初始位置的抛物线为y=-16x2+1，此时M1(
    1
    4
    ，0)    ，
    终止位置的抛物线为y=-2x2+1，此时M2(
    		2
    2
    ，0)    ，
    ∴M1M2=
    		2
    2
    -
    1
    4
    ，
    ∵移动的时间为
    1
    3
    秒，
    ∴点M移动的平均速度为每秒(
    3
    		2
    2
    -
    3
    4
    )    个单位．
    故答案为-16≤a≤-2；每秒(
    3
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数．
    （1）求k的值；
    （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
    （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=
    1
    2
    x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线y=ax2+bx+c（a＜0），如果抛物线同时经过点O、B、C：
    ①当n=3时a=______；
    ②a关于n的关系式是______．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；
    （2）若与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．在该抛物线上找一点D，使得△ABC与△ABD全等，求出D点的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，-3）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）求出该抛物线的对称轴及顶点D的坐标；
    （3）若点P在抛物线上运动（点P异于点D），当△PAB的面积和△DAB面积相等时，求点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，8），
    （1）试求抛物线的解析式；
    （2）设点D是该抛物线的顶点，试求直线CD的解析式；
    （3）若直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-bx+c（b＞0）的图象经过点A（-1，b），与y轴相交于点B，且∠ABO的余切值为3．
    （1）求点B的坐标；
    （2）求这个函数的解析式；
    （3）如果这个函数图象的顶点为C，求证：∠ACB=∠ABO．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式是y=______．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图所示，在直角坐标系xOy中，A，B是x轴上两点，以AB为直径的圆交y轴于点C，设过A、B、C三点的抛物线关系为y=x2-mx+n，若方程x2-mx+n=0两根倒数和为-2．
    （1）求n的值；
    （2）求此抛物线的关系式．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案