Question

下图1，已知抛物线C经过原点，对称轴x＝－3与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且tan∠MON＝3．

(1)求抛物线C的解析式；

(2)将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C’，抛物线C’与x轴的另一交点为A，B为抛物线C’上横向坐标为2的点．

①若P为线段AB上一动点，PD⊥y轴于点D，求△APD面积的最大值；

②过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线O–B－A于点E₁、F₁，再分别以线段EE₁、FF₁为边作下图2所示的等边△EE₁E₂、等边△FF₁F₂，点E以每秒1个单位长度的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个单位长度的速度从点A向点O运动，当△EE₁E₂有一边与△FF₁F₂的某一边在同一直线上时，求时间t的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)对称轴MN的解析式为x＝－3，ON＝3，tan∠MON＝3，MN＝9，M(－3，－9)， 　　令抛物线C的解析式为y＝a(x＋3)2－9，它经过原点，则0＝a(0＋3)2－9，a＝1， 　　y＝1(x＋3)2－9＝x2＋6x，所以抛物线C的解析式为y＝x2＋6x； 　　(2)①抛物线C’的解析式为 　　y＝－x2＋6x，当y＝0时，x＝0或6，点A的坐标为(6，0)，点B在抛物线C’上，且其横坐标为2，y＝8，有点B(2，8)，直线AB的解析式为 　　y＝－2x＋12，点P在线段AB上，令点P的坐标为(p，－2p＋12)， 　　S△APD＝p(－2p＋12)＝－p2＋6p＝－(p－3)2＋9，当p＝3(2＜3＜8)时， 　　S△APD的max值为9；http：∥www．xkb1．com 　　②据(2)①知，直线OB解析式为y＝4x， 　　直线AB解析式为y＝－2x＋12； 　　图3，∵EE1∥FF1，△EE1E2、△FF1F2是等边三角形，∴E1E2∥FF2，EE2∥F1F2， 　　直线EE1的解析式为x＝t，直线FF1的解析式为x＝6－t，令E1(t，y)则有E(t，0)、 　　E2(t＋，)，设直线EE2的解析式为 　　y＝x＋a，直线F1F2的解析式为y＝x＋b，直线E1E2的解析式 　　为y＝－x＋c，直线FF2的解析式为y＝－x＋d， 　　Ⅰ、当EE1与FF1在同一直线上时，x＝t＝6－t，t＝3； 　　Ⅱ、当0≤t≤2时，点E1在直线OB上，点F1在直线AB上，有E(t，0)、E1(t，4t)、F(6－t，0)、F1(6－t，2t) 　　(a)当EE2与F1F2在同一直线上时，有0＝t＋a，a＝－t， 　　2t＝(6－t)＋b，b＝(2＋)t－2，a＝b，－t＝(2＋)t－2， 　　t＝； 　　(b)当E1E2与FF2在同一直线上时，有4t＝－t＋c，c＝(4＋)t， 　　0＝－(6－t)＋d，d＝2－t，c＝d，(4＋)t＝2－t， 　　t＝； 　　通过作图观察可知，当2＜t≤6时，EE1与FF1不可能在同一直线上，E1E2与FF2也不可能在同一直线上． 　　综上所述，当△EE1E2有一边与△FF1F2的某一边在同一直线上时，t的值为3，或． 　　下面的讨论旨在说明2＜t≤6时，EE1与FF1、E1E2与FF2的位置关系，答题时可以省去． 　　Ⅲ、当2＜t≤4时，点E1在直线AB上，点F1在直线AB上，有E(t，0)、E1(t，－2t＋12)、F(6－t，0)、F1(6－t，2t) 　　(a)当EE2与F1F2在同一直线上时，有0＝t＋a，a＝－t， 　　2t＝ (6－t)＋b，b＝(2＋)t－2，a＝b，－t＝(2＋)t－2， 　　t＝(＜2，舍去)； 　　(b)当E1E2与FF2在同一直线上时，有－2t＋12＝－t＋c，c＝(－2)t＋12， 　　0＝－ (6－t)＋d，d＝2－t，c＝d，(－2)t＋12＝2－t， 　　t＝(＞4，舍去)； 　　Ⅳ、当4＜t≤6时，点E1在直线AB上，点F1在直线OB上，有E(t，0)、E1(t，－2t＋12)、F(6－t，0)、F1(6－t，24－4t)，wWw．xKb1．coM 　　(a)当EE2与F1F2在同一直线上时，有0＝t＋a，a＝－t， 　　24－4t＝(6－t)＋b，b＝24－2＋t－4t，a＝b， 　　－t＝24－2＋t－4t，t＝(＞6，舍去)； 　　(b)当E1E2与FF2在同一直线上时，有－2t＋12＝－t＋c，c＝12＋t－2t，0＝－ (6－t)＋d，d＝2－t，c＝d， 　　12＋t－2t＝2－t，t＝(＞6，舍去)； 　　综上所述，当△EE1E2有一边与△FF1F2的某一边在同一直线上时， 　　t的值为3，或．