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    【题目】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1,3,6,10，……，由于这些数可以用图中所示的三角形点阵标表示，他们就将其称为三角形数，第n个三角形数可以用表示.

    请根据以上材料，证明以下结论：

    (1)任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；

    (2)连续两个三角形数的和是一个完全平方数.

    【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

    【解析】

    （1）第n个三角形数乘8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
    （2）分别用n表示出第n、n＋1个三角形数，进一步相加整理得出答案即可．

    (1)∵.

    ∴任意一个三角形数乘以8再加上1是一个完全平方数.

    ∵第个三角形数为，第个三角形数为.

    ∴这两个三角形数的和为

    ＝4n2＋4n＋1＝（2n＋1）2，
    ∴任意一个三角形数乘8再加1是一个完全平方数；
    （2）∵第n个三角形数为，第n＋1个三角形数为，
    ∴这两个三角形数的和为：＋＝＝（n＋1）2，
    即连续两个三角形数的和是一个完全平方数．

    练习册系列答案
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    【题目】直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为.

    A. (－3，0) B. (－6，0) C. (－，0) D. (－，0)

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    【题目】一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．

    （1）求圆形滚轮的半径AD的长；

    （2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

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    【题目】利川市南门大桥是上世纪90年代修建的一座石拱桥，其主桥孔的横截面是一条抛物线的一部分，2019年在维修时，施工队测得主桥孔最高点到水平线的高度为.宽度为.如图所示，现以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.

    （1）直接写出点及抛物线顶点的坐标；

    （2）求出这条抛物线的函数解析式；

    （3）施工队计划在主桥孔内搭建矩形“脚手架”，使点在抛物线上，点在水平线上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根钢管的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】操作探究

    如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．

    （1）问题发现

    ①当α＝0°时，＝　 　；②当α＝180°时，＝　 　．

    （2）拓展探究

    试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

    （3）问题解决

    △CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在中，=5，=9，=，动点从出发，沿射线方向以每秒5个单位长度的速度运动，动点从点出发，一相同的速度在线段上由向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，以为边作正方形(按逆时针排序)，以为边在上方作正方形.

    (1)_______.

    (2)设点运动时间为，正方形的面积为,请探究是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

    (3)当为何值时，正方形的某个顶点(点除外)落在正方形的边上，请直接写出的值.

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    【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．

    （1）求∠CQP的度数；

    （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上；

    （3）①求y与x之间的函数关系式；

    ②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的．

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    【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.

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    A.1个B.2个C.3个D.4个

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