Question

17．如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）试探究线段AD、AB、CP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若OC=3，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，sinE=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 （1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO=90°即可；
（2）由∠OBP=∠BCO=90°，根据射影定理得到△OCB∽△PBC，得到$\frac{BC}{PC}=\frac{OC}{BC}$，由于OC=$\frac{1}{2}$AD，BC=$\frac{1}{2}$AB，于是得到结果；
（3）证明△ADE∽△POE，得到$\frac{EA}{EP}$，设OC=t，则BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．

解答 （1）证明：连接OA
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}\\{OP=OP}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB为⊙O的切线

（2）∵∠OBP=∠BCO=90°，∴△OCB∽△PBC，
∴$\frac{BC}{PC}=\frac{OC}{BC}$，
∴BC²=OC•PC，
∵OC=$\frac{1}{2}$AD，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴$（\frac{1}{2}AB）^{2}$=$\frac{1}{2}$AD•PC，
∴AB²=2AD•PC；

（3）解：∵BD是直径，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$，由AD∥OC得AD=2OC，
∵BC=2OC，设OC=3，则BC=6，AD=6．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴PC=2BC=12，OP=15．
∴$\frac{EA}{EP}$=$\frac{AD}{OP}$=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$，可设EA=2m，EP=5m，则PA=3m．
∵PA=PB，
∴PB=3m，sinE=$\frac{PB}{EP}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．