Question

如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E是AC的中点，ED、CB的延长线交于F，求证：FB•CD=FD•DB．

Answer 1

分析：由于CD是Rt△ABC斜边上的高，E是AC的中点，由此得到CE=ED=AE，然后根据等腰三角形的性质得到∠EDA=∠A，∠1=∠2，接着利用已知条件可以证明∠BDF=∠DCF，由此得到△FDB∽△FCD，最后利用相似三角形的性质即可解决问题．

解答：证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，E是AC的中点
∴CE=ED=AE．
∴∠EDA=∠A，∠1=∠2
∵∠1+∠EDA=90°，∠EDA=∠BDF，
∴∠1+∠BDF=90°
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BDF=90°
∵∠2+∠DCF=90°
∴∠BDF=∠DCF
∴△FDB∽△FCD
∴

FB

FD

=

DB

CD

∴FB•CD=FD•DB．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定，解题时首先利用直角三角形斜边的中线的性质构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到相似条件即可解决问题．