(1)观察发现
如图(1):若点A、B在直线m同侧,在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小,做法如下:
作点B关于直线m的对称点B′,连接AB′,与直线m的交点就是所求的点P,线段AB′的长度即为AP+BP的最小值.
如图(2):在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小,做法如下:
作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为 .
(2)实践运用
如图(3):已知⊙O的直径CD为2,的度数为60°,点B是
的中点,在直径CD上作出点P,使BP+AP的值最小,则BP+AP的值最小,则BP+AP的最小值为
.
(3)拓展延伸
如图(4):点P是四边形ABCD内一点,分别在边AB、BC上作出点M,点N,使PM+PN的值最小,保留作图痕迹,不写作法.
考点:
圆的综合题;轴对称-最短路线问题.
分析:
(1)观察发现:利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值;由AB=2,点E是AB的中点,根据等边三角形的性质得到CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1,再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=;
(2)实践运用:过B点作弦BE⊥CD,连结AE交CD于P点,连结OB、OE、OA、PB,根据垂径定理得到CD平分BE,即点E与点B关于CD对称,则AE的长就是BP+AP的最小值;
由于的度数为60°,点B是
的中点得到∠BOC=30°,∠AOC=60°,所以∠AOE=60°+30°=90°,于是可判断△OAE为等腰直角三角形,则AE=
OA=
;
(3)拓展延伸:分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F,然后连结EF,EF交AB于M、交BC于N.
解答:
解:(1)观察发现
如图(2),CE的长为BP+PE的最小值,
∵在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点
∴CE⊥AB,∠BCE=∠BCA=30°,BE=1,
∴CE=BE=
;
故答案为;
(2)实践运用
如图(3),过B点作弦BE⊥CD,连结AE交CD于P点,连结OB、OE、OA、PB,
∵BE⊥CD,
∴CD平分BE,即点E与点B关于CD对称,
∵的度数为60°,点B是
的中点,
∴∠BOC=30°,∠AOC=60°,
∴∠EOC=30°,
∴∠AOE=60°+30°=90°,
∵OA=OE=1,
∴AE=OA=
,
∵AE的长就是BP+AP的最小值.
故答案为;
(3)拓展延伸
如图(4).
点评:
本题考查了圆的综合题:弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到,同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题.
科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:2012-2013学年浙江省湖州八中七年级第二学期期中考试数学试卷(带解析) 题型:解答题
(1)观察发现
如题(a)图,若点A,B在直线同侧,在直线
上找一点P,使AP+BP的值最小.
做法如下:作点B关于直线的对称点
,连接
,与直线
的交点就是所求的点P
再如题(b)图,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.
做法如下:作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为 .
(2)实践运用
如题(c)图,已知⊙O的直径CD为4,AD的度数为60°,点B是弧AD的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值.
(3)拓展延伸
如题(d)图,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD.保留作图痕迹,不必写出作法.
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科目:初中数学 来源:2015届浙江省七年级第二学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(1)观察发现
如题(a)图,若点A,B在直线同侧,在直线
上找一点P,使AP+BP的值最小.
做法如下:作点B关于直线的对称点
,连接
,与直线
的交点就是所求的点P
再如题(b)图,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.
做法如下:作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为 .
(2)实践运用
如题(c)图,已知⊙O的直径CD为4,AD的度数为60°,点B是弧AD的中点,在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小,并求BP+AP的最小值.
(3)拓展延伸
如题(d)图,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD.保留作图痕迹,不必写出作法.
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科目:初中数学 来源:2011-2012年江苏GSJY八年级第二次学情调研考试数学卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
1. (1)观察发现
如(a)图,若点A,B在直线同侧,在直线
上找一点P,使AP+BP的值最小.
做法如下:作点B关于直线的对称点
,连接
,与直线
的交点就是所求的点P
再如(b)图,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.
做法如下:作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为 . (2分)
2.(2)实践运用
如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M、N分别是边AB、BC的中点,求PM+PN的最小值。(5分)
3.(3)拓展延伸
如(d)图,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD.保留作图痕迹,不必写出作法. (5分)
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