Question

【题目】如图，在ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．

（1）求证：△ABF是等边三角形；

（2）若∠CDF=45°，CF=2，求AB的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据在ABCD中，∠ABC=60°，可以得到∠DAB的度数，然后根据AF平分∠DAB，可以得到∠FAB的度数，然后等边三角形的判定方法即可得到△ABF是等边三角形；

（2）作FG⊥DC于点G，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以得到CG、FG的长，然后即可得到DG的长，从而可以得到DC的长，然后即可得到AB的长．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠DAB+∠ABC=180°，

∵∠ABC=60°，

∴∠DAB=120°，

∵AF平分∠DAB，

∴∠FAB=60°，

∴∠FAB=∠ABF=60°，

∴∠FAB=∠ABF=∠AFB=60°，

∴△ABF是等边三角形；

（2）作FG⊥DC于点G，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，

∴DC∥AB，DC=AB，

∴∠FCG=∠ABC=60°，

∴∠GFC=30°，

∵CF=2，∠FGC=90°，

∴CG=1，FG=，

∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，

∴∠FDG=∠DFG=45°，

∴DG=FG=，

∴DC=DG+CG=，

∴AB=，

即AB的长度是．