Question

已知△ABC中，AB=

3

，AC=3，D是边AC上一点，且AD：DC=1：2，连接BD．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）若sin∠ACB=

1

3

，试画出符合条件的大致图形，并求BD的长度？

Answer 1

分析：（1）根据∠BAD=∠CAB，结合线段的比相等证明：△ABD∽△ACB；
（2）画出图象，过A点作BC的垂线，交CB的延长线于E点（或交CB于E），在△ACE中，已知sin∠ACB=

1

3

，AC=3，可求AE，由勾股定理求CE，在Rt△ABE中，AB=

3

，由勾股定理求BE，根据BC=CE-BE或（BC=CE+BE）求BC，再利用（1）中的相似三角形求BD．

解答：解：（1）由AC=3，AD：DC=1：2，
得AD=1，CD=2，
∵∠BAD=∠CAB，

AB

AC

=

3

3

，

AD

AB

=

1

3

=

3

3

，
∴△ABD∽△ACB；

（2）如图①所示，过A点作BC的垂线，交CB的延长线于E点，
在△ACE中，
∵sin∠ACB=

AE

AC

=

1

3

，AC=3，
∴AE=1，
由勾股定理，得CE=

AC2-AE2

=2

2

，
在Rt△ABE中，AB=

3

，由勾股定理，得BE=

AB2-AE2

=

2

，
∴BC=CE-BE=2

2

-

2

=

2

，
由（1）可知，△ABD∽△ACB，
∴

BD

BC

=

AB

AC

，即BD=

3 ×  2

3

=

6

3

．
如图②所示，过A点作BC的垂线，交CB于E点，
在△ACE中，
∵sin∠ACB=

AE

AC

=

1

3

，AC=3，
∴AE=1，
由勾股定理，得CE=

AC2-AE2

=2

2

，
在Rt△ABE中，AB=

3

，由勾股定理，得BE=

AB2-AE2

=

2

，
∴BC=CE+BE=2

2

+

2

=3

2

，
由（1）可知，△ABD∽△ACB，
∴

BD

BC

=

AB

AC

，即BD=

6

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用公共角，线段的比得到相似三角形，再利用相似三角形的性质解题．