Question

10．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°求证：AG=FG．

Answer 1

分析 过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG．

解答 证明：过C点作CH⊥BF于H点，
∵∠CFB=45°，
∴CH=HF，
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
在△AGB和△BHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠BHC}\\{∠BAG=∠HBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG=BH，BG=CH，
∵BH=BG+GH，
∴BH=HF+GH=FG，
∴AG=FG．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性很强，对学生的解题要求能力很高，题目难度不小．