Question

【题目】如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，过点O作OD⊥AB与点D，连接OA，点E是AC的中点，延长EO交BC于点F．

（1）求证：△CEF∽△ODA．

（2）若，△ABC是不是等腰三角形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是，证明见解析．

【解析】

（1）利用圆周角定理可知∠ECF=∠AOB，再由垂径定理得到∠AOD=∠AOB，从而证明∠ECF=∠AOD，再由垂径定理可得∠ODA=∠CEF=90°，由此即可得出结论；

（2）由已知易证△OEC∽△CEF，从而可得∠ECF=∠EOC，再根据圆周角定理证明∠EOC=∠CBA，从而可得∠ECF=∠CBA，由等角对等边即可得出结论．

证明：（1）连接OB，

∵，

∴∠ECF=∠AOB，

又∵OD⊥AB，OA=OB，

∴∠AOD=∠AOB，

∴∠ECF=∠AOD，

∵OD⊥AB ，

∴∠ODA=90°，

∵E为AC中点 ，

∴OE⊥AC，

∴∠CEF=90°，

∴△CEF∽△ODA．

（2）∵OE·EF=CE2，∠OEC=∠CEF，

∴△OEC∽△CEF，

∴∠ECF=∠EOC，

∵∠EOC=，∠CBA=

∴∠ECF=∠CBA，

∴△ABC是等腰三角形．