Question

【题目】如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．

（1）求证：DF是的切线；

（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠ABD=2．

【解析】

（1）如图，连接OD，由AC是直径可得∠ADC=90°，利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；

（2）由直角三角形两锐角互余的关系可得∠DAC=∠DCE，可证明△DAC∽△DCE，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可得答案．

（1）如图，连接OD，

∵AC是⊙O直径，

∴∠ADC=90°，

∵点F为CE中点，

∴DF=CF，

∴∠FDC=∠DCF，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∵CE⊥AC，

∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，

∴DF是⊙O的切线．

（2）∵∠OCD+∠DCF=∠DAC+∠OCD=90°，

∴∠DCF=∠DAC，

∵∠ADC=∠CDE=90°，

∴△DAC∽△DCE，

∴，即CD2=AD·DE，

∵，

∴AC2=20DE2，

∵AC2=CD2+AD2，

∴AD2+AD·DE=20DE2，

∴（AD+5DE）（AD-4DE）=0，

解得：AD=4DE或AD=-5DE（舍去），

∴CD===2DE，

∵∠ABD=∠ACD，

∴tan∠ABD=tan∠ACD===2．