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为了美化校园环境,某中学准备在一块空地(如图,矩形ABCD,AB=10m,BC=20m)上进行绿化.中间的一块(图中四边形EFGH)上种花,其他的四块(图中的四个Rt△)上铺设草坪,并要求AE=AH=CF=CG.那么在满足上述条件的所有设计中,是否存在一种设计,使得四边形EFGH(中间种花的一块)面积最大?若存在,请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积;若不存在,请说明理由!

解:存在.设AE=AH=CG=CF=xm
则BE=DG=(10-x)m,BF=DH=(20-x)m
∴四边形EFGH的面积
S=10×20-2×x•x-2×(10-x)(20-x)
即S=-2x2+30x(0<x<10)
∴x=-=7.5
又∵0<7.5<10
∴S最大值==112.5
答:当AE的长为7.5m时,种花的这一块面积最大,最大面积是112.5m2
分析:设AE=AH=CG=CF=xm,则BE=DG=(10-x)m,BF=DH=(20-x)m,四边形EFGH的面积=矩形ABCD的面积-△AEH的面积-△CFG的面积-△BEF的面积-△DHG的面积,根据已列出的三角形边长,求出函数关系式.
点评:求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法,当二次系数a的绝对值是较小的整数时,用配方法较好,如y=-x2-2x+5,y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单.
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.已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元.
(1)种植草皮的最小面积是多少?
(2)种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低,最低费用为多少?

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