Question

为了美化校园环境，某中学准备在一块空地（如图，矩形ABCD，AB=10m，BC=20m）上进行绿化．中间的一块（图中四边形EFGH）上种花，其他的四块（图中的四个Rt△）上铺设草坪，并要求AE=AH=CF=CG．那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH（中间种花的一块）面积最大？若存在，请求出该设计中AE的长和四边形EFGH的面积；若不存在，请说明理由！

Answer 1

分析：设AE=AH=CG=CF=xm，则BE=DG=（10-x）m，BF=DH=（20-x）m，四边形EFGH的面积=矩形ABCD的面积-△AEH的面积-△CFG的面积-△BEF的面积-△DHG的面积，根据已列出的三角形边长，求出函数关系式．

解答：解：存在．设AE=AH=CG=CF=xm
则BE=DG=（10-x）m，BF=DH=（20-x）m
∴四边形EFGH的面积
S=10×20-2×

1

2

x•x-2×

1

2

（10-x）（20-x）
即S=-2x²+30x（0＜x＜10）
∴x=-

30

2×(-2)

=7.5
又∵0＜7.5＜10
∴S_最大值=

-302

-4×2

=112.5
答：当AE的长为7.5m时，种花的这一块面积最大，最大面积是112.5m²．

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比较简单．