Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4，∠A=120°．动点P、E、M分别从B、A、D三点同时出发，其中点P沿BA向终点A运动，点E沿AD向终点D运动，点M沿DC向终点C运动，且它们的速度都为每秒2个单位．连接PE、PM、EM，设动点P、E、M运动时间为t（单位：秒），△PEM的面积为S．
（1）判断△PAE与△EDM是否全等，说明理由；
（2）连接BD，求证：△EPM∽△ABD；
（3）求S与t的函数关系式，并求出△PEM的面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于P、E、M三点的速度相同，因此AP=ED、AE=DM，而等腰梯形ABCD的两底角∠A=∠EDM，由此可证得所求的两个三角形全等．
（2）首先由（1）的全等三角形证得：PE=EM，∠AEP=∠EMD，根据∠DEM+∠DME=60°，可证得∠AEP+∠DEM=60°，即∠PEM=120°=∠BAD，两个等腰三角形的顶角相等，则它们必相似，由此得证．
（3）此题可通过相似三角形的性质求解，已知了△EPM∽△ABD，只需求得它们相似比的平方即可得到两个三角形的面积比，分别过B、P作AD的垂线，设垂足为F、G，易知∠BAF=60°，即可求得BF、PG、AG的值，进而可表示出△BAD的面积，在Rt△PGE中，利用勾股定理可得PE2的表达式，联立BA2的值，即可得到两个三角形的面积比，从而求得△PEM的面积，也就得到了关于y、x的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求得y的最小值及对应的x的值．

解答：（1）解：△PAE≌△EDM，
理由如下：
根据题意，得BP=AE=DM=2t，
∵AB=AD=DC=4，∴AP=DE=4-2t（1分）
∵在梯形ABCD中，AB=DC，
∴∠PAE=∠EDM；（2分）
又AP=DE，AE=DM，
∴△PAE≌△EDM．（3分）

（2）证明：∵△PAE≌△EDM，
∴PE=EM，∠1=∠2（4分）
∵∠3+∠2=∠1+∠BAD，
∴∠3=∠BAD；（5分）
∵AB=AD，∴

PE

BA

=

EM

AD

；（6分）
∴△EPM∽△ABD．（7分）

（3）解：过B点作BF⊥AD，交DA的延长线于F，过P点作PG⊥AD交于G；
在Rt△AFB中，∠4=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
∴BF=AB•sin∠4=4•sin60°=2

3

，
∴S_△ABD=

1

2

AD•BF=

1

2

×4×2

3

=4

3

．（8分）
在Rt△APG中，PG=AP•sin∠4=（4-2t）•sin60°=（2-t）

3

．
AG=AP•cos∠4=（4-2t）•cos60°=2-t，
∴GE=AG+AE=2-t+2t=2+t．
∴PE2=PG2+GE2=[(2+t)

3

]2+（2+t）²=4t²-8t+16．
∵△EPM∽△ABD，∴

SEPM

SABD

=(

PE

BA

)2=

PE2

BA2

=

4t2-8t+16

42

=

t2-2t+4

4

，（9分）
∴S_△EPM=4

3

•

t2-2t+4

4

=

3

t2-2

3

t+4

3

；
∴S与t的函数关系式为S=

3

t2-2

3

t+4

3

．（0≤t≤2）（10分）
∵S=

3

(t2-2t+4)=

3

(t-1)2+3

3

，

3

＞0，
∴当t=1，S有最小值，最小值为3

3

．（12分）
另一解法（略解）
在Rt△APG中，PG=AP•sin∠4=（4-2t）•sin60°=（2-t）

3

．
AG=AP•cos∠4=（4-2t）•cos60°=2-t．
在Rt△MFD中，FM=DM•sin∠MDF=2t•sin60°=

3

t，DF=DM•cos∠MDF=2t•cos60°=t．
∴GF=AG+AD+DF=2-t+4+t=6，GE=AG+AE=2-t+2t=2+t，
EF=ED+DF=4-2t+t=4-t；
∴S_△EPM=S_梯形PGFD-S_△AGP-S_△EFM
=

1

2

[(2-t)

3

+

3

t]•6-

1

2

(2-t)

3

×(2+t)-

1

2

(4-t)×

3

t=

3

t2-2

3

t+4

3

．（0≤t≤2）

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，相似三角形、全等三角形的判定和性质，以及二次函数最值的应用，难度较大．