Question

【题目】如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、．若，，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是(　　)

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】B

【解析】

连接BD，先证明△BOC是等边三角形，得出BO=BC，又FO=FC，从而可得出FB⊥OC，故①正确；因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM，故②错误；再证明四边形EBFD是平行四边形，由OB⊥EF推出四边形EBFD是菱形，故③正确；先在Rt△BCF中，可求出BC的长，再在Rt△BCM中求出BM的长，从而可知④错误，最后可得到答案．

解：连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AC、BD互相平分，

∵O为AC中点，∴BD也过O点，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，

∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，

又FO=FC，BF=BF，

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，

∴FB⊥OC，∴①正确；

∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，

∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，

∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，

∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，

∵OB=OD，

∴四边形EBFD是平行四边形．

又∠EBO=∠OBF，OE=OF，

∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，

∴③正确；
∵由①②知△EOB≌△FOB≌△FCB，

∴△EOB≌△CMB错误，

∴②错误；

∵FC=2，∠OBC=60°，∠OBF=∠CBF，

∴∠CBF=30°，∴BF=2CF=4，∴BC=2，

∴CM=BC=，∴BM=3，故④错误．

综上可知其中正确结论的个数是2个．
故选：B．