【题目】阅读以下材料:对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550年-1617年),纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler,1707年-1783年)才发现指数与对数之间的联系.对数的定义:一般地,若,则叫做以为底的对数,记作.比如指数式可以转化为,对数式可以转化为.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:.理由如下:设,,所以,,所以,由对数的定义得,又因为,所以.解决以下问题:
(1)将指数转化为对数式: .
(2)仿照上面的材料,试证明:
(3)拓展运用:计算 .
【答案】(1);(2)见解析;(3)2
【解析】
(1)根据题意可以把指数式53=125写成对数式;
(2)先设logaM=x,logaN=y,根据对数的定义可表示为指数式为:M=ax,N=ay,计算的结果,同理由所给材料的证明过程可得结论;
(3)根据公式:loga(MN)=logaM+logaN和的逆用,将所求式子表示为:log3(2×18÷4),计算可得结论.
(1)∵一般地,若ax=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作:记作:x=logaN.
∴3=log5125,
故答案为:3=log5125;
(2)证明:设,
∴,,
∴,
由对数的定义得
又∵,
∴
(3) log3(2×18÷4)= log39=2.
故答案为:2.
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【题目】某医药研究所研发了一种新药,试验药效时发现:1.5小时内,血液中含药量y(微克)与时间x(小时)的关系可近似地用二次函数y=ax2+bx表示;1.5小时后(包括1.5小时),y与x可近似地用反比例函数y=(k>0)表示,部分实验数据如表:
时间x(小时) | 0.2 | 1 | 1.8 | … |
含药量y(微克) | 7.2 | 20 | 12.5 | … |
(1)求a、b及k的值;
(2)服药后几小时血液中的含药量达到最大值?最大值为多少?
(3)如果每毫升血液中含药量不少于10微克时治疗疾病有效,那么成人按规定剂量服用该药一次后能维持多长的有效时间.(≈1.41,精确到0.1小时)
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【题目】如图,直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点,点A在x轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax2+bx+经过A,B两点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)点M是直线BC上方抛物线上的一点,过点M作MH⊥BC于点H,作MD∥y轴交BC于点D,求△DMH周长的最大值.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是A边上一点,且AE=,点F是边BC上的任意一点,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AG,CG,则四边形AGCD的面积的最小值为_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数y1=的图象经过点A,反比例函数y2=的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是( )
A.m=nB.m=﹣nC.m=﹣nD.m=﹣3n
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数y1=的图象经过点A,反比例函数y2=﹣的图象经过点B,则m的值是( )
A.m=3B.C.D.
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【题目】疫情防控,我们一直在坚守.某居委会组织两个检查组,分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查.若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查,则他们恰好抽到同一个小区的概率是( )
A.B.C.D.
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【题目】中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注,为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的,分为四种类型:A接听电话;B收发短信;C查阅资料;D游戏聊天.并将调查结果绘制成图1和图2的统计图(不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)此次抽样调查中,共调查了 名学生;
(2)将图1、图2补充完整;
(3)现有4名学生,其中A类两名,B类两名,从中任选2名学生,求这两名学生为同一类型的概率(用列表法或树状图法).
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【题目】如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)当AB与AC满足怎样数量关系时,四边形AECF为菱形.
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