Question

【题目】如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，直线经过点、.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点是直线上方抛物线上的一动点，求面积的最大值并求出此时点的坐标；

（3）过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的一个夹角等于的3倍时，请直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2），点坐标为；（3）点的坐标为，

【解析】

（1）利用B（5，0）用待定系数法求抛物线解析式；

（2）作PQ∥y轴交BC于Q，根据求解即可；

（3）作∠CAN=∠NAM1=∠ACB，则∠A M1B=3∠ACB, 则 NAM1∽ A C M1,通过相似的性质来求点M1的坐标；作AD⊥BC于D,作M1关于AD的对称点M2, 则∠A M2C=3∠ACB,根据对称点坐标特点可求M2的坐标.

（1）把代入得

.

∴；

（2）作PQ∥y轴交BC于Q，设点，则

∵

∴OB=5，

∵Q在BC上，

∴Q的坐标为（x，x-5），

∴PQ==，

∴

=

=

∴当时，有最大值，最大值为，

∴点坐标为.

（3）如图1，作∠CAN=∠NAM1=∠ACB，则∠A M1B=3∠ACB,

∵∠CAN=∠NAM1,

∴AN=CN,

∵=-(x-1)(x-5),

∴A的坐标为（1，0），C的坐标为（0，-5），

设N的坐标为（a,a-5），则

∴，

∴a= ,

∴N的坐标为（,）,

∴AN2==，AC2=26，

∴，

∵∠NAM1=∠ACB，∠N M1A=∠C M1A，

∴ NAM1∽ A C M1,

∴,

∴,

设M1的坐标为（b,b-5），则

∴,

∴b1= ，b2=6(不合题意，舍去)，

∴M1的坐标为，

如图2，作AD⊥BC于D,作M1关于AD的对称点M2, 则∠A M2C=3∠ACB,

易知ADB是等腰直角三角形，可得点D的坐标是（3，-2），

∴M2 横坐标= ，

M2 纵坐标= ，

∴M2 的坐标是，

综上所述，点M的坐标是或.