Question

无论k取任何实数，对于直线都会经过一个固定的点，我们就称直线恒过定点.

（1）无论取任何实数，抛物线恒过定点，直接写出定点A的坐标；

（2）已知△ABC的一个顶点是（1）中的定点，且∠B，∠C的角平分线分别是y轴和直线，求边BC所在直线的表达式；

（3）求△ABC内切圆的半径.

 

 

Answer 1

（1）（0,2）或（3，）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）将变形为，只要的系数为0，即有无论取任何实数，抛物线恒过定点.

（2）根据角平分线的轴对称性质，求出点A关于y轴的对称点和关于直线的对称点的坐标，由该两点在直线BC上，应用待定系数法求解即可.

（3）根据角平分线的性质，y轴和直线的交点O即为△ABC内切圆的圆心，从而应用面积公式即可求解.

试题解析：（1）∵可变形为，

∴当，即或时，无论取任何实数，抛物线恒过定点.

当时，；当时，；

∴A（0,2）或（3，）.

（2）∵△ABC的一个顶点是（1）中的定点，

∴A（3，）.

∵∠B，∠C的角平分线分别是y轴和直线，

∴点B、点C在点A关于y轴、直线的对称点所确定的直线上.

如图，作点A关于y轴的对称点，作点A关于直线的对称点.

直线DE与y轴的交点即为点B，与直线的交点即为点C. 连接AB，AC.

设直线BC的表达式为.

则有，解之，得.

所以，.

（3） ∵∠B，∠C的角平分线分别是y轴和直线，

∴y轴和直线的交点O即为△ABC内切圆的圆心.

过点O作OF于F，则OF即为△ABC内切圆的半径.

设BC与x轴交点为点G，易知 , .

∴.

∵,

∴，即△ABC内切圆的半径为.

考点：1.函数和平面几何综合题；2. 角平分线的性质；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.三角形的内切圆；6.勾股定理；7.三角形面积公式.