Question

如图，在直角坐标平面内，函数（x＞0，m是常数）的图像经过A（1，4）、B（a，b），其中a＞1.过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连接AD，DC，CB。

（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；

（2）求证：DC∥AB；（3）当AD＝BC时，求直线AB的函数解析式。

 

Answer 1

（1）解：∵函数（x＞0，m是常数）图像经过A（1，4），∴m＝4

     设BD、AC交于点E，据题意可得B（a，），D（0，），E（1，）.

∵a＞1，DB＝a，AE＝4－，由△ABD的面积为4，即

得a＝3，∴点B的坐标为（3，）

（2）证明：据题意，点C的坐标为（1，0），DE＝1，

∵a＞1，易得EC＝，BE＝a－1. ∴，

∴，∴DC∥AB

（3）解：∵DC∥AB，∴当AD＝BC时，有两种情况：

  ①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，由（2）得，，

∴a－1＝1，得a＝2，∴点B的坐标为（2，2）。

设直线AB的函数解析式为为y=kx＋b，则 解得

∴直线AB的函数解析式是y=－2x＋6。

②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则BD＝AC，

∴a＝4，∴点B的坐标是（4，1）

设直线AB的函数解析式为y=kx＋b，则解得

∴直线AB的函数解析式是y=－x＋5.

综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=－2x＋6或y=－x＋5.