Question

19．如图，已知△ABC是等边三角形，且AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠PBQ的度数；
（2）求证：BP=2PQ．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
∴在△AEB与△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CA}\\{∠BAE=∠C}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDA（SAS）；

（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=90°-∠BPQ=30°，

（3）解：如图，由（2）知，∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP，
∴BP=2PQ．

点评 此题是全等三角形的判定与性质，主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题是一道比较典型的题目，需记住这种题型的解决方法．