Question

如图，以△ABC边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD与BE相交于点O，连接AO．
①猜想∠AOD与∠AOE的数量关系，并证明；
②求∠AOD的度数．

Answer 1

①∠AOD=∠AOE，
证明：过A作AG⊥DC于G，AN⊥BE于N，
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中

∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE，S_△DAC=S_△BAE，
∴AQ=AN，即点A到BE和DC的距离相等．
∴AO平分∠DOE（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）；

②解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠AME=∠BMC，∠EAC+∠AEC+∠AME=180°，∠BCM+∠MBC+∠BMC=180°，∠EAC=60°，
∠EOC=∠EAC=60°，
∵由①知∠AOD=∠AOE，
∴∠AOD=（180°-60°）=60°．
分析：①过A作AG⊥DC于G，AN⊥BE于N，根据等边三角形性质得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，求出∠DAC=∠BAE，证△DAC≌△BAE，推出BE=DC和 三角形面积相等，得出高相等，即可得出答案；
②求出∠AEB=∠ACD，根据三角形的内角和定理求出∠EOC=∠EAC=60°，即可求出答案．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的应用，关键是推出△DAC≌△BAE．