Question

如图1，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的高线，
（1）若∠ABC=40°∠ACB=80°，求∠DAE的度数；
（2）若∠ACB-∠ABC=m，试求∠DAE的度数（用含m的代数式表示）；
（3）若△ABC是钝角三角形，如图2，∠ACB为钝角，（2）中条件不变，试问（2）中的结论还成立吗？请加以推理说明？

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和为180°得∠BAC=60°，根据角平分线得∠CAD=30°，再根据高线得∠CAE=60°，从而得出∠DAE；
（2）先根据三角形的内角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-m-2∠C，再根据角平分线的性质得到∠DAC=

1

2

∠BAC=90°-

m

2

-∠C，而AE⊥BC，即可得出∠DAE的度数；
（3）根据三角形的内角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-m-2∠C，再根据角平分线的性质得到∠DAC=

1

2

∠BAC=90°-

m

2

-∠C，得出∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=90°-

m

2

，而AE是BC边上的高线，即可得出∠DAE的度数．

解答：解：（1）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠BAC=60°．
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=30°，
∴∠ADC=70°，
又∵AD是BC边上的高，
∴∠EAD=20°；

（2）∵∠ACB-∠ABC=m，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-m-2∠C，
而AD为∠BAC的角平分线，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=90°-

m

2

-∠C，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAC-∠DAE=90°-∠C，
∴∠DAE=

m

2

．

（3）成立．
∵∠ACB-∠ABC=m，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-m-2∠C，
而AD为∠BAC的角平分线，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=90°-

m

2

-∠C，
∴∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=90°-

m

2

，
∵AE是BC边上的高线，
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=

m

2

．

点评：本题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，也考查了三角形的角平分线和高线的性质，难度适中．