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    【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，，.点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是秒．将线段的中点绕点按顺时针方向旋转得点，点随点的运动而运动，连接、，过点作，交于点．

    （1）求证：∽；

    （2）请用含的代数式表示出点的坐标；

    （3）求为何值时，的面积最大，最大为多少？

    （4）在点从向运动的过程中，点与点所在的直线能否平分矩形的面积？若能，求的值；若不能，请说明理由．

    【答案】（1）见解析；（2）点坐标为；（3）当时，S最大；（4）能，．

    【解析】

    （1）根据余角的性质可得，进一步即可证得结论；

    （2）由题意得，，然后根据相似三角形的性质可得DQ、PQ的长，进而可得结果；

    （3）先用含t的代数式表示出的面积，再根据二次函数的性质求解即可；

    （4）若点与点所在的直线平分矩形的面积，则直线AD必过点C，故只要根据待定系数法求出直线AD的解析式，再把点D的坐标代入即可求出相应的t的值．

    （1）证明：∵四边形是矩形，，

    ∴，，

    ∵，∴，

    ∴，

    ∴∽；

    （2）解：由题意知：点从点出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，

    ∴，∴，

    ∵∽，，

    ∴，

    ∴，，

    ∴点坐标为；

    （3）解：∵，，∴，

    ∴，

    ∴当时，S最大；

    （4）解：能．当直线过点时，点与点所在的直线平分矩形的面积．

    ∵，，∴点，，

    设直线的解析式为：，把A、C两点代入，得：，解得：，

    ∴直线的解析式为：，

    ∵点在直线上，∴，解得：.

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