Question

【题目】如图，为半圆的直径，交于，为延长线上一动点，为中点，，交半径于，连．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确结论的个数为（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据题意可得是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得点是的外心，根据圆周角定理可得∠AEP=2∠ABC，进而可判断①；

连接AC，如图1，根据圆周角定理的推论并结合①的结论可得点和点在以点为圆心的同一个圆上，于是可判断②；

连接BE，如图2，由①知点是的外心，然后根据圆周角定理即可判断③；

如图1，在直角中，利用锐角三角函数和③的结论可得，然后将进行整理变形即得结论，进而可判断④，于是可得答案．

解：①∵点是的中点，，∴是的垂直平分线，

∵是半的直径，，∴是的垂直平分线，

∴点是的外心，

∵，∴，

∴，故①正确；

②连接AC，如图1，∵是半的直径，∴，

∴点和点在以点为圆心的同一个圆上，∴，故②正确；

③连接BE，如图2，由①知点是的外心，∴，故③正确；

④如图1，在直角中，，

∴，

∴为定值，是半径的倍，故④正确．

故选：D．