Question

【题目】如图，已知直线y＝x+6与x轴，y轴相交于点A，B，点C在线段OA上，将△BOC沿着BC折叠后，点O恰好落在AB边上的点D处，若点P为平面内异于点C的一点，且满足△ABC与△ABP全等，则点P的坐标为_____．

Answer 1

【答案】（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）

【解析】

先根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，可求出AB的长，根据折叠性质可得BD=OB，CD=OC，利用勾股定理可求出CD的长，即可得点C坐标，△PAB与△CAB全等有三种情况①延长CD到P，使PD=CD，连接PA、PB，过D作DE⊥OA于E，可得AB为PC的垂直平分线，利用SSS可证明△ABP≌△ABC，利用面积法可求出DE的长，代入AB解析式可的点D坐标，根据D是PC中点即可求出点P坐标；②过点B作x轴平行线，过点A作BC平行线，相交于点P；可得P点纵坐标为6，根据B、C坐标可得BC解析式，由AP//BC及A点坐标可求出AP的解析式，把y=6代入即可得P点坐标；③作点（﹣5，6）关于AB的对称点P'；PP′交AB于E，作EF⊥PB，由CD和PE是AB边上的高可得PE=CD，利用面积法可求出EF的长，即可求出E点纵坐标，代入AB解析式即可得E得坐标，根据E点为PP′中点即可求出P′坐标，综上即可得答案.

∵直线y＝x+6与x轴，y轴相交于点A，B，

∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=-8，

∴A（﹣8，0），B（0，6），

∴AB==10，

∵O与D关于BC对称，

∴OB＝BD＝6，CO＝CD，

∴AD＝10﹣6＝4，AC＝8﹣CD，

在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，即(8-CD)2=42+CD2，

解得：CD＝3，

∴OC=3，

∴C（﹣3，0），

①如图，延长CD到P，是PD=CD，连接PA、PB，过D作DE⊥OA于E，

∵∠BDC=∠BOC=90°，

∴AB是PC的垂直平分线，

∴PB=BC，PA=AC，

又∵AB=AB，

∴△ABP≌△ABC，

∵CD=3，AD=4，AC=5，∠ADC=90°，

∴S△ACD=AC·DE=CD·AD，即5DE=12，

解得：DE=，

当y=时，x+6=，

解得：x=，

∴D（，），

设P点坐标为（m，n）

∵点D是PC的中点，

∴，，

解得：m=，n=,

∴P（﹣，）.

②过点B作x轴的平行线，过点A作BC的平行线，相交于点P，

∴∠PAB=∠ABC，∠PBA=∠BAC，P点纵坐标为6，

又∵AB=AB，

∴△ABP≌△ABC，

设BC解析式为y=kx+b，

∵C（-3，0），B（0，6），

∴，

解得：，

∴BC的直线解析式为y＝2x+6，

∵PA//BC，

∴设AP的解析式为y=2x+b1，

∵A（-8，0）

∴2×(-8)+b1=0，

解得：b1=16，

∴AP的直线解析式为y＝2x+16

∵点P的纵坐标为6,

∴2x+16=6，

解得：x=-5，

∴P（﹣5，6）.

③如图，作点P（﹣5，6）关于AB的对称点P'，PP′交AB于E，作EF⊥PB，

∵点P与点P′关于AB对称，

∴△ABP≌△ABP′，PE=P′E，

∵△ABP≌△ABC，

∴△ABP′≌△ABC，

∵CD和PE是AB边上的高，

∴PE=CD=3，

∴BE==4，

∴EF==，

∴点E纵坐标为6-=，

∵点E在直线AB上，

∴x+6=，

解得：x=，

∴E（，）

设P′（m，n）

∵E为PP′的中点，

∴，，

解得：m=﹣，n=，

∴P'（﹣，）.

综上所述，满足条件的P点有（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）．

故答案为（﹣，）或（﹣5，6）或（﹣，）．